MySQL: crear índice único y no único

Una PRIMARY KEY crea un índice único asociado al campo que es clave primaria, además es NOT NULL por defecto, y por tabla se tiene una sola clave primaria.
Cuando queremos que un campo o varios sean únicos entonces creamos una constraint UNIQUE y si queremos que sea un índice no único lo declaramos como KEY pero no en la misma línea del campo porque significaría que declaramos una PRIMARY KEY, y no es lo que queremos.

create table test(
    clave_primaria    int unsigned not null,
    clave_unica       varchar(128) default null,
    clave_nounica     varchar(128) default null,
    constraint pk_test_claveprimaria primary key(clave_primaria),
    constraint uq_test_claveunica unique(clave_unica),
    key(clave_nounica)
);

Se ha utilizado
-MySQL Ver 14.14 Distrib 5.7.23, for Win64